UHU-StartseiteMathematikJahrgangsstufen10Exponentielles Wachstum und LogarithmenDie allgemeine Exponentialfunktion
Exponentialfunktion, hergeleitet aus dem Bierschaumzerfall


Erweiterung des Definitionsbereiches
  1. Die Messung der Höhe des Bierschaumes hätte nicht unbedingt alle 20s, sondern zu jedem beliebigen Zeitpunkt erfolgen können.
  2. Für die beobachteten Versuche verhält sich der Bierschaum zu den Zeitpunkten als seine Höhe nicht gemessen wurde physikalisch genauso, wie während der Messung
  3. die Punkte dürfen zu einer Messkurve verbunden werden




0,83^x

Gültigkeit von Zahlen im Exponenten
Zur mathematischen Beschreibung muss
  1. der Definitionsbereich von f(x) auf erweitert werden
  2. geklärt werden, was z.B. 0.832 bedeutet



Irrationale Zahlen im Exponenten
  • Brüche im Exponenten lassen sich durch die Potenzgesetze zurückführen auf bekannte Zahldarstellungen: apq=(aq)p
  • 2 lässt sich durch Dezimalzahlen beliebig annähern
  • jede Dezimalzahl kann in einen Bruch pq umgewandelt werden
  • 32 kann auf dem gleichen Weg angenähert werden



Annäherung von 32
Im folgenden wird 2 nach dem Heron-Verfahren angenähert:
SchrittNäherung für 2Näherung für 32
1 2 32=9
2 1.5 332=(3)3=5.196
3 1.41667 31.41667=4.742
4 1.41422 31.41422=4.729
5 1.41421 31.41421=4.729
Der Wert ist also nach 5 Schritten schon auf 4 gültige Ziffern festgelegt.



Definition der Exponentialfunktion
Es sei a+. Dann heißt

xax mit x Exponentialfunktion.




Verschiedene Exponentialfunktionen

Aufgabe I
Gegeben ist die Exponentialfunktion x10x;x.
  1. Setzt man für x nacheinander die Zahlen 0, 1, 2, ... ein, so erhält man eine Folge Funktionswerten. Wie erhält man aus einem Funktionswert den nächsten?
  2. Setzt man für x nacheinander die Zahlen 0, -1, -2, ... ein, so erhält man eine Folge Funktionswerten. Wie erhält man aus einem Funktionswert den nächsten?
  3. Wie hoch müsste ein Blatt sein (Einheit beider Achsen 1cm), wenn man den Graph der Funktion im Intervall [-10;+10] zeichnen wollte?



Aufgabe I, Tipp A
  1. Die ersten vier Funktionswerte sind:1,10,100und1000
  2. Die ersten vier Funktionswerte sind:1,110,1100und11000
  3. Kleinster Funktionswert: 10-10cm
    Größter Funktionswert 1010cm



Aufgabe I, Tipp B
  1. Der Quotient aus Folgewert und Wert ist konstant
  2. Der Quotient aus Folgewert und Wert ist konstant
  3. 10-10cm=1pm
    1010cm=108m



Aufgabe I, Lösung
  1. Multiplikation mit 10
  2. Division durch 10
  3. 108m=105km=100000km
    1pm1100 Durchmesser des Wasserstoffatoms



Aufgabe II
Wie ändert sich der Funktionswert der Exponentialfunktion xax, wenn man den x-Wert
  1. um 1 bzw 2 vergrößert
  2. um 1 verkleinert
  3. um 0.5 vergrößert
  4. verdoppelt
  5. halbiert



Aufgabe II, Tipp A
  1. ax+1= (Potenzgewetz anwenden)
  2. ax-1= (Potenzgewetz anwenden)
  3. ax+0.5= (Potenzgewetz anwenden)
  4. ax2= (Potenzgewetz anwenden)
  5. ax2= (Potenzgewetz anwenden)



Aufgabe II, Tipp B
  1. ax+1=axa1
  2. ax-1=axa1
  3. ax+0.5=axa0.5
  4. ax2=(ax)2
  5. ax2=(ax)12



Aufgabe II, Lösung
  1. Der Funktionswert wird mit a mutlipliziert
  2. Der Funktionswert wird durch a geteilt
  3. Der Funktionswert wird mit a mutlipliziert
  4. Der Funktionswert wird quadriert
  5. Aus dem Funktionswert wird die Wurzel gezogen


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