Sinussatz über Mathematik im Gelände

Sinussatz im Gelände

Spanne eine Schnur in ca. 1m Höhe. Markiere darauf zwei Punkte A und B so, dass ein Punkt C des Nachbargebäudes von diesen beiden Punkten aus sichtbar ist.
ODER
Markiere zwei Punkte auf dem Boden.
Miss die Länge der Strecke [AB].
Bestimme mit der Winkelscheibe die Winkelmaße $α$ und $β$ .
Berechne nun die Entfernung $\bar{A C}$ oder $\bar{B C}$ und daraus den Abstand des Punktes C von der Strecke [AB].

Herleitung des Sinussatzes aus der Situation

sin (α) = \frac{d}{b}; sin (β) = \frac{d}{a};

Auflösen nach d:

d = b \cdot sin (α); d = a \cdot sin (β);

Gleichsetzen:

b \cdot sin (α) = d = a \cdot sin (β);

so umstellen, dass korrepondierende Größen beisammen stehen:

\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b}

Hätte man das Lot von A auf a betrachtet, dann wäre herausgekommen:

\frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}

Also gilt:

\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}

(Sinussatz)

Bestimmung der Entfernung von C

c = 6 m, α = 75 °, β = 80 °, γ = 35 °

sind bekannt.
Bestimme b mit Hilfe des Sinussatzes:

\frac{sin (γ)}{c} = \frac{sin (α)}{a} \Rightarrow a = c \cdot \frac{sin (α)}{sin (γ)} = 6 m \cdot \frac{0, 966}{0, 574} \approx 10, 1 m

sin (α) = \frac{d}{a} \Rightarrow d = a \cdot sin (α) \approx 10, 1 m \cdot 0, 966 = 9, 76 m