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Beweis zur Ableitungsfunktion über die Umkehrfunktion


Zusammenhang der Ableitungen von Funktion und Umkehrfunktion
Wie hier zu entnehmen besteht folgender Zusammenhang zwischen den Ableitungen von Funktion und Umkehrfunktion:
(f-1)'(x)=1f'(f-1(x))
Diesen Zusammenhang kann man sich auch dadurch so klarmachen:
  • die Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der Winkelhalbieren
  • die Steigung m=tanα mit α Schnittwinkel zwischen Tangente und x-Achse
  • wird zu m-1=tan(90°-α)=cot(α)=1tan(α)=1m
Jetzt müssen noch die Positionen der Tangenten berücksichtigt werden:
  • Tangente t-1(x) im Punkt (xo|yo)
  • ergab sich durch Spiegelung der Tangente t im Punkt (yo|xo)
Beides zusammen:
f-1'(xo)=1f'(yo)=1f'(f-1(xo))



Zur Ableitung der Umkehrfunktion

Ableitungsfunktion der Logarithmusfunktion
Wählt man
f(x)=ex⇒f'(x)=ex und
f-1(x)=ln(x)

mit der Formel ergibt sich folgender Zusammenhang:

ln'(x)=f-1'(x)=1f'(f-1(x))=1eln(x)=1x
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