Definition

Vektoren "füllen" Dimensionen

Eine bestimmte Menge an Vektoren kann eine maximale Menge von Dimensionen ausfüllen:

Anzahl	Anzahl der maximal darstellbaren Dimensionen	sonst
1	1	-
2	2, spannen eine Ebene auf	zeigen in die gleiche oder Gegenrichtung (kollinear)
3	3, spannen einen Raum auf	liegen in einer Ebene (komplanar) oder sind kollinear

2 Vektoren

sind kollinear: $λ_{1} \cdot {\vec{a}}_{1} + λ_{2} \cdot {\vec{a}}_{2} = \vec{o}$ mit $λ_{1} \neq 0$ und $λ_{2} \neq 0$
spannen eine Ebene auf: $λ_{1} \cdot {\vec{a}}_{1} + λ_{2} \cdot {\vec{a}}_{2} = \vec{o}$ nur wenn $λ_{1} = λ_{2} = 0$

2 Vektoren

3 Vektoren

sind kollinear oder komplanar: $λ_{1} {\vec{a}}_{1} + λ_{2} {\vec{a}}_{2} + λ_{3} {\vec{a}}_{3} = \vec{o}$ mit $λ_{1} \neq 0, λ_{2} \neq 0, und λ_{3} \neq 0$
spannen einen Raum auf: $λ_{1} {\vec{a}}_{1} + λ_{2} {\vec{a}}_{2} + λ_{3} {\vec{a}}_{3} = \vec{o}$ nur wenn $λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0$

3 Vektoren

Definition

Eine Menge von Vektoren {

{\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, ... {\vec{a}}_{n}

} heißt
linear unabhängig, wenn es

für dafür keine geschlossene Vektorkette gibt
oder die Gleichung $λ_{1} {\vec{a}}_{1} + λ_{2} {\vec{a}}_{2} + ... + λ_{n} {\vec{a}}_{n} = \vec{o}$
nur für $λ_{1} = λ_{2} = ... = λ_{n} = 0$ erfüllbar ist.

Im anderen Fall heißen die Vektoren linear abhängig.