die Menge der rationalen Zahlen


Brüche und Quotienten auf der Zahlengeraden
Zeichne eine bei 0 beginnende Zahlengerade (LE 6cm) in dein Heft.
  • Markiere mit einem roten Pfeil von oben die Positionen, die sich ergeben, wenn man folgende Rechnungen durchführt:
    4 : 23 : 33 : 63 : 21 : 43 : 41 : 12
  • Markiere mit einem grünen Pfeil von unten die Positionen der folgenden Bruchteile
    `1/12``3/3``1/4``3/6``3/4``3/6``3/2`




Brüche und Divisionen auf der Zahlengeraden

Ergebnis
  • jeder Bruch entspricht der Division von Zähler und Nenner und einem Punkt auf der Zahlengeraden
  • Brüche mit Nenner 1 entsprechen natürlichen Zahlen
  • Brüche, deren Zähler größer als der Nenner ist, liegen rechts der 1




Verschiedene Bruchzahlen auf der Zahlengeraden

Bruchzahlen und ganze Zahlen
Jede Bruchzahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden. Deshalb ist sie
  • eine neue Zahl, deren Wert zwischen zwei natürlichen Zahlen liegt,
  • oder wertgleich mit einer natürlichen Zahl
Gibt es zu jeder ganzen Zahl wertgleiche Brüche?
`11 = 11/1 = 22/2 = 33/3 = ...`
`135 = 135/1 = 270/2 = ...`
`0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 = ...`
`-3 = - 6/2 = -300/100 = - 4500/1500 ...`

Jede ganze Zahl und die Null kann durch mehrere wertgleiche Bruchzahlen dargestellt werden.



Die Menge der rationalen Zahlen
Jede ganze Zahl kann durch eine (positive oder negative) Bruchzahl dargestellt werden. Man sagt:
  • Die Menge aller positiven und negativen Bruchzahlen wird `QQ` (Menge der rationalen Zahlen) genannt.
  • `ZZ` ist in `QQ` (Menge der rationalen Zahlen) enthalten
  • oder kurz: `ZZ sub QQ`




Menge der ganzen und der rationalen Zahlen