Aufgaben zur Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Aufgaben

1. "Heute nacht habe ich geträumt, dass isch auf einer einspurigen Eisenbahnbrücke stehe. Plötzlich tauchte 10 km vom Anfang der Brücke entfernt ein Zug auf. Er kam mt einer konstanten Geschwindigkeit von 60 kmh^-1 auf mich zu. Ich konnte aber nur mit einer konstanten Geschwindigkeit von 12 kmh^-1 rennen."
   "Das war ja ein Albtraum!"
   "Ach was, von dem Punkt der Brücke, an dem ich stand, konnte ich sowohl den Anfang als auch das Ende der Brücke gerade noch rechtzeitig erreichen."
   "Vorausgesetzt du ranntest in die richtige Richtung!"
   "Das war in meinem Fall egal."
   "Gab es noch andere Punkte auf der Brücke, von denen es aus egal war, in welche Richtung man lief?"
   "Nein, dieser war der einzige."
   "Dann weiß ich jetzt, wie lang die Brücke war."
   Wissen sie es auch?
   Quelle: [2]
   
   
2. Für die Geschwindigkeit einer anfahrenden S-Bahn gilt in den ersten 10s:
   v(t) = 0,6 ms^-1⋅t
   1. Zeichnen Sie ein t-v-Diagramm
   2. Lesen Sie aus dem Diagramm den Weg ab, den die S-Bahn nach 2,0s und 9,0s zurückgelegt hat.
3. Eine U-Bahn fährt mit konstanter Beschleunigung 0,8ms^-2 an. Die Zeitzählung beginnt bei Ortsmarke Null.
   1. Geben Sie die Zeit-Ort-Funktion, die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion und die Zeit-Beschleunigung-Funktion für die Bewegung an.
   2. Zeichnen Sie das t-x-Diagramm, das t-v-Diagramm und das t-a-Diagramm
   Quelle: [1]
4. Berechnen Sie die Beschleunigung eines PKW, der in 8s von Null auf 100 km/h kommt.
5. Von einem 15m hohen Burgturm wird ein Stein der Masse 160g senkrecht nach unten auf dem Grund eines anschließenden Burggrabens geschleudert. Mit welcher Geschwindigkeit wurde er abgeworfen, wenn er dort mit einer Geschwindigkeit von 20,1 ms^-1 aufschlägt?
6. Ein LKW-Fahrer bremst von 108 kmh^-1 gleichmäßig über eine Entfernung von 120m auf Null herunter.
   • Berechnen Sie die (negative) Beschleunigung
   • Berechnen Sie die Zeitdauer des Bremsvorganges
   • Zeichnen Sie ein t-v-Diagramm
   • Angenommen, das Fahrzeug wäre nach 6,0s auf ein stehendes Hindernis aufgeprallt. Welche Geschwindigkeit hätte er noch gehabt und welchen Weg hätte er bis dort zurückgelegt?
7. Gegeben ist das dargestellte t-v-Diagramm.
   
   
   
   
   • Teilen Sie die Bewegung in Phasen ein und erklären Sie den Bewegungsablauf
   • Zeichnen Sie das zugehörige t-a-Diagramm.
   • Zeichnen Sie das zugehörige t-x-Diagramm für den Fall, dass die Bewegung bei x=0 startet.
8. Ein Wagen wird gleichmäßig abgebremst und durchfährt dabei in 20s eine Strecke von 0,46km Länge; er hat dann die Geschwindigkeit 18ms^-1. Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit und die Beschleunigung mit den Bewegungsgleichungen und über die Trapezfläche im zugehörigen t-v-Diagramm.
   Quelle: [1]
9. Ein PKW wird von der Geschwindigkeit 65 kmh^-1 auf 5kmh^-1 abgebremst; er legt dabei eine Strecke von 30m zurück. Berechnen Sie die Bremsdauer.
   Quelle: [1]
10. Ein Autofahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit 54kmh^-1 auf eine ampelgeregelte Kreuzung zu. Als die Ampel von Grün auf Gelb wechselt, schätzt der Autofahrer die Entfernung zur Ampel auf 20 bis 30 Meter. 3,0s nach dem Wechsel auf Gelb folgt der Wechsel auf Rot.
    • Würde das Auto schon bei Rot die Kreuzung überqueren, wenn es seine Geschwindigkeit beibehalten würde und die Entfernungsschätzung des Fahrers richtig wäre?
    • Nach dem Wechsel auf Gelb beginnt der Fahrer nach 1,0s zu bremsen und kommt gerade beim Wechsel auf Rot zum Stehen.
      Wie groß war dabei die mittlere Verzögerung und die tatsächliche Entfernung des Autos zur Ampel beim Wechsel auf Gelb?
    
    Quelle: [1]

Lösungen

1. Idee: Bestimmung der Zeit, bis der Zug die Brücke erreicht hat:
   

   t =	s	=	10km	= 10 min
   	v		60 kmh-1

   
   Bestimmung der Brückenlänge in Zugrichtung:
   x_L = v ⋅ t = 12 kmh^-1 ⋅ 10min = 2 km
   
   Bestimmung der Brückenlänge in die andere Richtung:
   x₀: Entfernung Zug - Brücke
   x_L: Entfernung Läufer - linker Rand
   x_R: Entfernung Läufer - rechter Rand
   t_Zug = t_Läufer
   

   x0 + xL + xR	=	xR
   vZug		vLäufer

   v_Läufer ⋅ (x₀ + x_L + x_R) = v_Zug ⋅ x_R
   v_Läufer ⋅ (x₀ + x_L) = x_R ⋅ (v_Zug - v_Läufer)

   xR =	vLäufer ⋅ (x0 + xL)	=	12 ⋅ 12	km = 3 km
   	(vZug - vLäufer)		48

2. 1. 
   2. Der Weg berechnet sich zu x(t) = 0,5⋅v(t)⋅t .
      Dies entspricht im Diagramm genau der Fläche unter dem Graphen.
      Damit ergibt sich x(2s) = 0,5⋅1,2ms^-1⋅2s = 1,2m
      x(9s) = 0,5⋅1,2ms^-1⋅9s = 5,4m
      
3. 1. a(t) = 0,8ms^-2
      v(t) = 0,8ms^-2⋅t
      x(t) = 0,4ms^-2⋅t²
   2. 
      
4. 
   v(t) = a₀⋅t
   

   => a0 =	v	=	100 : 3,6 ms-1	= 3,5 ms-2
   	t		8s

5. 
   Bestimmung von v₀:
   v² - v₀² = 2gx => v₀ = √v² - 2gx = √(20,1)² - 2⋅10⋅15 ms^-1 = 10,2 ms^-1
6. 1. v² - v₀² = 2ax

      => a =	v2 - v02	=	0 - (30m/s)2	= - 3,75 ms-2
      	2x		240m

   2. v = a⋅t

      t =	v	=	30ms-1	= 8,0s
      	a		3,75ms-2

7. 1. • Phase 1 [0s..5s]
        Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v = 50ms^-1.
      • Phase 2 [5s..20s]
        Bewegung mit konstanter negativer Beschleunigung (abbremsen!).
      • Phase 3 [20s..30s]
        Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v = 5ms^-1.
      • Phase 4 [30s..35s]
        Bewegung mit konstanter Beschleunigung (Gleichmäßige Erhöhung der Geschwindigkeit).
      • Phase 5 [35s..∞]
        Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v = 50ms^-1.
8. geg.: v, x, t
   ges.: v₀, a
   Weg :
   Sowohl in der Gleichung II, wie in Gleichung IV sind v₀ und a unbekannt. Lösung also über zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
   Auflösen von Gleichung II nach v₀: v(t) = at + v₀ => v₀ = v - at
   Einsetzen in v² - v₀² = 2ax :
   v² - (v - at)² = 2ax
   v² - v² + 2vat - (at)² = 2ax
   2vat - a²t² = 2ax | : a
   2vt - at² = 2x
   at² = 2vt - 2x
   

   a = 2	vt - x	= 2⋅	18ms-1⋅20s - 460m	= 2⋅	360m - 460m	= - 0,50 ms-2
   	t2		400 s2		400 s2

   => v₀ = 18ms^-1 + 0,50ms^-2⋅20s = 28ms^-1
9. geg.: v₀ = 65kmh^-1; v = 5kmh^-1; x = 30m;
   ges.: t
   Weg :
   Berechnung der Beschleunigung über Formel IV, einsetzen in Formel II:
   v² - v₀² = 2ax v = at + v⁰

   => a =	v2 - v02	=	(18,1ms-1)2 - (1,39ms-1)2	= 5,43 ms-2
   	2x		2⋅30m

   => t =	v - v0	=	16,7 ms-1	= 3,1s
   	a		5,43ms-2

10. • v = 54 kmh^-1 = 15ms^-1 => s = v⋅t = 15ms^-1⋅3,0s = 45m > 30m
      
      
      Der Fahrer hätte es noch bei Gelb geschafft.
      
      
      
    • t = 3,0s - 1,0s = 2,0s
      

      a	=	Δv	= -	15ms-1	=	-7,5ms-2
      		Δt		2,0s

      x = 0,5⋅a⋅t² = 0,5⋅7,5ms^-2⋅4,0s² = 15m

Quellen