Achsen- und Punktspiegelungen
Zwei Achsenspiegelungen
Konstruktion von Spiegelachsen
Licht im Winkelspiegel
Gruppenaufgabe:
Spiegele ein Dreieck nacheinander an zwei Achsen und erkläre, was dabei herauskommt.
Winkel zwischen den Achsen: 0° (Achsenabstand 2cm, 3cm, 4cm) 20° 30° 40° 45° 60° 90°
a) parallele Achsen
v =
d1+d1' +
d2+d2' =
2 · d1' + 2 · d2 =
2 · ( d1' + d2 )
Merke:
Doppelspiegelungen an parallelen Achsen bewirken eine Verschiebung um den doppelten Achsenabstand.
b) Sich schneidende Achsen
Drehwinkel insgesamt:
δ = α+α' + β+β' = 2 α' + 2 beta = 2 · ( α' + β )
Merke:
Doppelspiegelungen an sich schneidenden Achsen bewirken eine Drehung um den doppelten Schnittwinkel.
Aufgabe:
Konstruiere Spiegelachsen so, dass eine gegebene Strecke [R S] auf eine dazu kongruente Strecke [R S] abgebildet wird.
Lösung
Mit der ersten Spiegelachse a1 soll R nach R abgebildet werden. Dabei entsteht natürlich auch S' als Bild von S:
Mit der zweiten Spiegelachse soll S' nach S abgebildet werden. Dabei darf das Bild von R aber nicht mehr woanders liegen.
Deshalb muss a2 durch R gehen:
a2 trifft die Gerade S'S automatisch im rechten Winkel: Die Strecke [RS'] und die Strecke [R S] sind gleichlang (Längentreue bei Achsenspiegelungen).
Deshalb entsteht ein gleichschenkliges Dreieck S'RS. Die Symmetrieachse a2 dieses Dreiecks trifft aber die Basis genau im rechten Winkel.
Übungsaufgabe:
Gegeben sind die Punkte A(2;1), B(1;4), C(5;5) und D(8;4)
Konstruiere die Spiegelachsen zur Abbildung der Strecke [AB] nach [CD].
Aufgabe:
Konstruiere höchstens drei Spiegelachsen so, dass ein Dreieck durch Nacheinanderspiegelung in ein dazu kongruentes abgebildet wird:
Idee:
Konstruiere zuerst die Achsen a1 und a2 zur Abbildung von A und B. Wegen der Längen- und Winkeltreue liegt dann C automatisch an der richtigen Position (insgesamt gleichsinnige Abbildung) oder muss nur noch einmal gespiegelt werden (insgesamt gegensinnige Abbildung).
Licht breitet sich geradlinig aus. Wenn es auf einen Spiegel trifft dann wird es in dem gleichen Winkel reflektiert, mit dem es auf die Spiegelfläche trifft:
So gesehen entspricht dies einer Achsenspiegelung der "Laserstrahlgeraden" an der Spiegeloberfläche.
Ordnet man zwei Spiegel in einem bestimmten Winkel γ zueinander an und lässt einen Laserstrahl so einfallen, dass er an beiden Spiegeln genau einmal reflektiert wird, so erhält man folgende Figur:
Im entstehenden roten Dreieck gilt:
δ = 180° - 2α + 180° - 2β (Außenwinkelsatz im Dreieck)
δ = 2 · (180° - α - β) (Distributivgesetz)
δ = 2 γ (Dreieck mit α β und γ)
Wird (aus beliebiger Richtung kommendes) Licht im Winkelspiegel reflektiert, so wird es immer um den doppelten Winkel gedreht, den die Spiegel miteinander einschließen.