Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist (z.B. 5·0 = 0). Deshalb muss jeweils immer nur ein Faktor auf Null gesetzt sein, dann ist die ganze linke Seite der Gleichung Null und es entsteht eine wahre Aussage.
Die Gleichung wird für x = -12 und x = +12 erfüllt:
L = { -12; +12 }
Diese Gleichung ist eine Summe und enthält ein x². Mittels der dritten binomischen Formel:
(x - 12)(x + 12) = x² - 144
erkennt man aber, dass die Lösungen mit der vorherigen Teilaufgabe übereinstimmen.
L = { -12; +12 }
Der Trick ist hier also die Summe x²-144 mittels der rückwärts angewendeten 3. binomischen Formel in ein Produkt umzuwandeln.
Der Term ist wieder eine Summe. Besser wäre auch hier eine Produktform. Diesmal erkennt man die 1. binomische Formel:
x² - 2x + 1 = (x - 1)² = (x - 1)(x - 1) = 0
Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn x = +1 ist:
L = { +1 }
Dieser Term ist keine binomische Formel. Er lässt sich also nicht mit einer binomischen Formel in ein Produkt umwandeln. Trotzdem besitzt er die Lösungsmenge:
L = ( -10; +0,5 }
Man hat also Glück, wenn man eine Summe mittels einer binomischen Formel in ein Produkt umwandeln kann.
Für das Lösen nichtlinearer Gleichungen der Form a = 0 gibt es also manchmal die Möglichkeit den Term a in eine Produktform umzuwandeln. Diese Umwandlung nennt man Faktorisieren.
Du hast zwei Möglichkeiten einen Term zu faktorisieren:
Ausklammern:
Haben alle Summanden eines Terms gemeinsame Faktoren, so lassen sich diese ausklammern:
4a + 32b + 12c = 4 · (a + 8b + 3c).
Das Ergebnis ist ein Produkt, da man zuerst die Klammer ausrechnet und sie dann mit dem Vorfaktor multipliziert.