Der Begriff "Term" wird bereits im ersten Jahr des Mathematikunterrichts des Gymnasiums eingeführt. Eine Beispielaufgabe aus einem Buch der 5. Klasse:
Gib den zugehörigen Term an und berechne seinen Wert: "Teile die Summe von 405 und 345 durch 25".
Es werden drei Darstellungen für einen Term eingeführt: die Wortform, die Gliederung und die algebraische Darstellung.
In der 7. Klasse wird dann die Verbindung von Termen mit Variablen eingeführt, der Term stellt eine Rechenvorschrift dar.
Mit dieser Form lassen sich dann ab der Mittelstufe Rechenvorschriften in der Physik als Terme darstellen ("Formelsammlung").
In der 11. Klasse Mathematik wird dann die zentrale Rolle des Funktionsbegriffes hervorgehoben. Dabei wird der Term zur Formulierung der Funktionsvorschrift benötigt.
Gerade der Term mit Variablen spielt also ab der 7. Klasse eine große Rolle:
- Er stellt die Struktur von Rechenvorschriften mathematisch dar.
- Durch Äquivalenzumformungen erhält man geeignete Darstellungen für entsprechende Situationen.
- Durch Belegung der enthaltenen Variablen lässt sich sein Wert berechnen.
Betrachten Sie den Term (2x² + 4y)·x. Um damit mathematisch etwas anfangen zu können, müssen sie seine Struktur verstehen. Für welche Belegung wird er z.B. 0? Der Term ist ein Produkt und Produkte sind dann 0, wenn der erste oder der zweite Faktor 0 werden. In unserem Fall muss also gelten: Entweder ist 2x² die Gegenzahl zu 4y (dann wäre die Klammer 0), oder x = 0.
Um die Struktur eines Terms zu verstehen, überlegt man sich, welche Rechenart als letztes ausgeführt wird und zerlegt ihn diesbezüglich in seine Bestandteile:
Hier ist x eine Variable und lässt sich nicht weiter zerlegen. Der linke Term besteht allerdings wieder aus einer abschließenden Rechnung:
Führt man diese Zerlegung weiter fort, bis man nur noch auf Zahlen und Variablen trifft, so erhält man letztendlich:
Aufgabe
- Erstellen Sie einen Termbaum für (x+y)·(x-y)
- Erstellen Sie einen Termbaum für (x:y)+xy
- Erstellen Sie einen Termbaum für (x+y)2·(x-y)·z
Betrachten wir zuerst einmal die Blätter eines Termbaumes. Hier können nur Zahlen oder Variablen auftauchen, ansonsten handelt es sich um einen zusammengesetzten Term, der wiederum Zahlen oder Variablen enthalten muss. Solche "Termendstationen" nennt man auch Atome, weil sie nicht weiter zerlegbar sind. Gleichzeitig stellen sie selbst wieder Terme dar:
Aufgabe:
- Erarbeiten Sie die wesentliche Unterschiede zwischen einer Zahl und einer Variablen.
- Welches ist der Unterschied zwischen einer Zahl und einer Konstanten (z.B. aus der Pyhsik?).
Die Zahl als Term und die Variable als Term besitzen jeweils noch eine Eigenschaft die sie identifiziert: Eine Zahl besitzt einen Wert, eine Variable wird durch einen Buchstaben gekennzeichnet. Ergänzen wir diese Informationen zu unserem Diagramm:
Zur Vereinfachung wurde hier die "enthält"-Relation weggelassen, sie ergibt sich im weiteren Verlauf automatisch.
Eine entscheidende Eigenschaft eines Terms, der Variablen enthält ist seine Universalität. Durch Angabe von Variablen wird eine Rechenvorschrift für unendlich viele Zahlen gleichzeitig geschaffen, oder durch Gleichsetzen von Termen, eine Aussage für unendlich viele Zahlen. Beispiel
a2 + b2 = c2
Zur konkreten Verwendung wird jede Variable mit einer bestimmten Zahl belegt. Bei Ausführung der Rechenvorschrift des Terms ergibt sich dann wieder eine Zahl:
Term( a=<Zahl> ; b=<Zahl> ; c=<Zahl> ; ... ) -> <Zahl>
Beispiel: Berechnung des Volumens eines Quaders.
V = a · b · c
Belegung:
V( 1,5; 2,5; 1,0 ) -> 3,75.
Jeder Term, dem man ein Feld von Zahlen für die Belegung aller seiner Variablen übergibt, kann also eine Zahl zurückgeben.
Summe Produkt und Potenz werden in unserem Modell genau zwei Argumente haben, die jeweils wieder ein Term sind. Gleichzeitig sind sie natürlich auch wieder ein Term.
Aufgabe:
- Versuchen Sie diese Tatsachen in einem ähnlichen Diagramm festzuhalten, wie es bei "Blätter" dargestellt wurde.
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Das Termmodell
